2. Модельдеудегі термодинамика заңдары

2.1 Энергияның сақталуы. Термодинамиканың бірінші заңы. Энергия теңдеуі

Егер тек ғана механикалық шамалар қарастырылатын болса, онда тұтас ортаның көлемі үшін механикалық энергияның сақталу заңын (3.16) қозғалыс теңдеуінен қорытып шығаруға болады.

(3.16) теңдеуді – ға скаляр көбейтіп, шыққан нәтижені V көлемі бойынша интегралдаймыз. Онда

. (3.22)

Бірақ,

(3.23)

интегралы тұтас ортаның V көлемінің K кинетикалық энергиясының уақыт бойынша өзгеру жылдамдығын білдіреді. екенің ескерсек және (2.19) – ға қойып, болатының ескерсек, онда (3.22) теңдеуді келесі түрде жазуға болады:

. (3.24)

Енді (3.24) теңдеуінің оң жағының бірінші интегралын Остраградский-Гаусс теоремасы бойынша беттік интегралға түрлендірсек және , теңдігін пайдаланып, тұтас орта үшін механикалық энергия теңдеуін аламыз:

. (3.25)

Бұл теңдеу, сол жақта тұрған континуумның толық механикалық энергиясының өзгеру жылдамдығы мен оң жақта тұрған беттік және массалық күштердің қуатының арасындағы байланысты орнатады. – ішкі механикалық энергияның өзгеру жылдамдығы. (3.25) теңдеуді келесі түрде де жазуға болады:

(3.26)

мұндағы – сәйкесінше ішкі және сыртқы күштер қуаттары, ал – символы сәйкес өсімшенің жалпы жағдайда қандай да бір функцияның дәл дифференциалы болмайтының білдіреді.

Айталық, механикалық энергиядан басқа да энергия түрлерін ескеру керек болсын, онда энергияның сақталу заңы өзінің жалпы формасында қолданылуы керек. Мұндай формадағы энергияның сақталу заңы былай дейді: кинетикалық және ішкі энергия қосындысының уақыт бойынша өзгеру жылдамдығы, уақыт бірлігіндегі басқа энергия түрлерінің құйылу қосындысына тең болады. Энергия құйылуына жылулық, химиялық, электромагниттік және тағы басқа энергия түрлері жатуы мүмкін. Келешекте тек механикалық және жылу энергиясын қарастыратын боламыз, ал термодинамиканың бірінші заңы энергия теңдеуі болады.

Термомеханикалық континуумдегі ішкі энергия U-дың өзгеру жылдамдығы келесі интегралмен беріледі:

, (3.27)

мұндағы u – меншікті (удельная) ішкі энергия деп аталады.

Айталық, – уақыт бірлігінде, аудан бірлігінен өтетін жылу ағының сипаттасын және z – уақыт бірлігіндегі масса бірлігіне жылудың сәуле шығару тұрақтысын сипаттасын. Онда ортаның жылу құйылу жылдамдығы келесі қосындымен анықталады:

. (3.28)

Континуумдегі термомеханикалық энергияның өзгеру заңы келесі теңдеумен өрнектеледі:

. (3.29)

Немесе (барлық шамаларды интегралмен өрнектесек)

. (5.30)

Остроградский-Гаусс теоремасын пайдалансақ және V көлемінің кез-келген екенің ескерсек, онда энергия теңдеуінің локальды формасын аламыз:

немесе (3.31)

(3.31) энергияның локальды теңдеуі орындалатын көлемнің аз элементінің ішінде (3.16) қозғалыс санының теңдеуі де орындалу керек. (3.16) теңдеу мен жылдамдық векторының скалярлық көбейтіндісін қарастырайық:

Бұл теңдікке бірқатар қарапайым түрлендіру жасап, одан (3.31) теңдеуді алып тастасақ, онда энергияның локальды теңдеуінің қысқаша жазу формасын аламыз:

. (3.32)

(3.32) теңдеуден мынандай қорытынды шығады: ішкі энергияның өзгеру жылдамдығы, кернеу қуаттарының және, ортадағы жылу құюлуының қосындысына тең болады.